Моделирование эпидемий: модель SIR

Над материалом работали Мила Нездоймышапко, Алла Лосева

Представьте, как начинается эпидемия в полностью уязвимой среде. Пятеро человек внезапно заболевают, и при контакте со здоровыми людьми передают вирус им. Если заразившиеся и здоровые свободно общаются, вскоре заболеют вообще все члены этого сообщества.

Мы могли бы представить, что вначале заболели не пятеро, а сто человек. Или что половина заболевших ни с кем ни контактируют. И в том, и в другом случае эпидемия распространилась бы или быстрее, или медленнее, а может, и вовсе бы остановилась.

Говоря, что население делится на две группы – здоровых и больных, – мы создаём модель общества, то есть представляем его упрощённо. В нашем примере, пожалуй, даже вульгарно, ведь люди не остаются заболевшими навечно – если болезнь не смертельная, через какое-то время они выздоравливают. В более правдоподобной модели есть третья группа людей: те, кто поправился. Они отличаются от здоровых тем, что при контакте с заразившимся человеком они не заболеют снова, так как против этой болезни у них уже появился иммунитет.

Модели, в которых общество делится на группы, или классы, называются камерными (compartmental) и широко используются в эпидемиологии. Наша модель – одна из простейших таких моделей. Она называется

модель SIR, где S значит уязвимый, то есть без иммунитета к болезни (susceptible), I – заразившийся и распространяющий вирус (infectious), R – выздоровевший и получивший иммунитет, хотя бы временный (recovered). Между этими классами люди перемещаются последовательно:
S → I → R.
Эта последовательность – жёсткая закономерность, поэтому SIR относится к детерминированным моделям.

Если исследователи знают число людей в каждом классе в любой момент времени, они могут предсказать распространение заболевания и длительность эпидемии. Вводя в модель новые элементы, можно демонстрировать и влияние внешних факторов: например, показать, как карантин и соблюдение дистанции снижают число заразившихся на пике эпидемии. (См. также подобные оценки на исторических данных об эпидемии «испанки» в 1918–1919 гг.)

Этим постом мы открываем серию материалов про моделирование эпидемий. Сегодня мы рассмотрим карту публикаций, в которых используется модель SIR, описанная выше.

Для обзора мы выполнили систематический поиск литературы в базе данных Scopus и построили карту публикаций на основе их списков литературы (см. Рисунок 1). Близость на карте и принадлежность к одному кластеру на этой карте означают, что публикации ссылаются на одни и те же работы – а значит, есть вероятность, что в статьях поднимаются схожие темы. Карта выполнена в программе VOSviewer.

Исследования, где применяется модель SIR, делятся на пять кластеров:

• цвета морской волны, вверху: динамика в моделях SIR,
• голубой, слева: глобальная устойчивость и влияние вакцинаций,
• фиолетовый, в центре: детализированные модели SIR,
• жёлтый, справа: социальные сети,
• синий, внизу: бегущая волна.

Описание кластеров

Кластер цвета морской волны: динамика в моделях SIR

Публикации этого кластера включают в модели временное измерение. Например, в самой заметной работе моделируется распространение кори в Великобритании (Bjørnstad, Finkenstädt, and Grenfell 2002). Перед тем, как начались массовые вакцинации, в крупных городах кто-то постоянно болел, и число заразившихся колебалось с определённой периодичностью. В поселениях поменьше периодически возникали вспышки кори, после которых вирус исчезал до новой вспышки. Исследователи воспроизвели эту динамику через модель, которая также отражала смену сезонов. Ход эпидемии был разбит на двухнедельные интервалы, поэтому свою модель авторы назвали TSIR, где T – это временные ряды (time-series). Было показано, что число заболевших пропорционально размеру поселения, а скорость передачи инфекции меняется в зависимости от сезона.

В целом кластер посвящён динамике эпидемий. Lloyd (2001) рассматривает, как меняются шансы на выздоровление с течением времени, прошедшего с момента заболевания. Tien and Earn (2010) вводят в модель дополнительный путь передачи инфекции (помимо прямого контакта заразившегося и уязвимого), причём со временем вероятность заразиться этим путём снижается.

В исследованиях также учитывается, как распространение эпидемии в пространстве и во времени зависит от сезона (Keeling, Rohani, and Grenfell 2001). Работы показывают не только динамику заражений, но и период после эпидемии (Stone, Olinky, and Huppert 2007).

Голубой кластер: глобальная устойчивость

Для динамической системы, такой как общество, глобальная устойчивость существует, если из любого текущего состояния системы она стремится вернуться в стабильное состояние. Допустим, сперва состояние системы было «нет заболевших, все здоровы», а с началом эпидемии это состояние меняется. Если после эпидемии общество возвращается к изначальной точке, эту точку считают глобально устойчивой. 

Работы голубого кластера исследуют этот феномен. К примеру, вспомним ситуацию, когда часть общества постоянно болеет определённой болезнью, и число заразившихся ею колеблется с некоторой периодичностью. Здесь глобальная устойчивость – не точка, в которой заболевших нет, а само колебание числа заболевших (Beretta and Takeuchi 1995; McCluskey 2010). Если возникают вспышки эпидемии, после них это число возвращается к прежней амплитуде колебаний. Как отмечают авторы, в отличие от других картин эпидемии эта ситуация настолько же глобально стабильна, как и полное отсутствие заболевших.

В некоторых публикациях показано, как глобальная устойчивость достигается циклической вакцинацией (pulse vaccination) – это стратегия, при которой группы риска постоянно вакцинируются до тех пор, пока распространение вируса не останавливается (d’Onofrio 2005; Stone, Shulgin, and Agur 2000). Согласно Shulgin, Stone, and Agur (1998), даже в системах со сложной динамикой при циклической вакцинации можно добиться полной победы над эпидемией.

Фиолетовый кластер: детализированные модели SIR

Статьи этого кластера адаптируют модель SIR к конкретным случаям, добавляя в модель важные характеристики общества и населения. Например, Dangbé et al. (2017) моделируют распространение холеры, и учитывают при этом такие факторы, как социально-экономический статус населения, поведенческие особенности (в частности, следование правилам гигиены), а также факторы окружающей среды. Miller Neilan et al. (2010), которые также изучают холеру, вводят в модель новые компоненты, отвечающие за загрязнённость питьевой воды и за бессимптомное течение болезни. 

Hyman and Li (2007) делят класс заразившихся на подклассы, в зависимости от того, сколько времени люди заражены. Авторы предполагают, что некоторые люди с развитием у них болезни меняют поведение: менее активно контактируют с другими или лечатся. В таком случае они заражают меньше людей, и большая их доля выздоравливает.

Наконец, в обзорной работе Allen (2008) показывает несколько моделей на базе SIR, в которых применяются вероятности (например, вероятность исчезновения заболевания или, наоборот, его вспышки). Такие модели называются стохастическими.

Жёлтый кластер: социальные сети

Этот кластер показывает, как болезнь передаётся через социальные контакты. Можно предположить, что самые общительные члены сети заражают больше всего людей – но если их круг общения изолирован от остальной части сети, то инфекция не распространится далеко. Предположим тогда, что самые опасные передатчики болезни – те, кто контактирует с разными сообществами. Правда, в очень больших сетях выявить таких людей сложно, поскольку это требует затратных вычислений. В одной из самых цитируемых статей кластера, Chen et al. (2012) предлагают новую, менее сложную в подсчётах метрику для самых влиятельных передатчиков инфекции. Ещё один способ выявить основных распространителей вируса описан в статье Li et al. (2014).

В целом, публикации этого кластера пробуют разные подходы к моделированию эпидемии, предполагая, что она распространяется по сетям контактов (Kenah and Robins 2007; Lindquist et al. 2011). В том числе рассматриваются ситуации, когда вирус мутирует, либо параллельно распространяется несколько инфекций (Masuda and Konno 2006). Отдельная тема кластера – передача заболеваний половым путём (Rocha, Liljeros, and Holme 2011).

Синий кластер: бегущая волна

Волны «бегут», если они перемещаются в пространстве – как звуковая волна распространяется от нас к собеседнику. Если мы говорим достаточно громко и у собеседника нет проблем со слухом, он услышит сказанное. Теперь представим, что вместо звука распространяется болезнь: с этим подходом мы можем смоделировать её передачу (Bai and Zhang 2015; Li and Yang 2014; Wang and Wang 2016). Как показывают Wang and Wu (2009), сам факт того, распространяется ли болезнь, зависит полностью от основного репродуктивного числа (число людей, которым заразившийся человек может передать вирус, если ни у кого нет иммунитета). А вот скорость распространения болезни зависит и от других факторов, например, от того, путешествуют ли люди на большие расстояния.

На странице 2 мы даём ссылки на общие обзоры про моделирование эпидемий и описываем наши данные.

Общие обзоры

• Buonomo, B., N. Chitnis, and A. d’Onofrio. 2018. ‘Seasonality in Epidemic Models: A Literature Review’. Ricerche Di Matematica 67(1):7–25.
• Canzani, Elisa, and Ulrike Lechner. 2015. “Insights from Modeling Epidemics of Infectious Diseases – A Literature Review.” In Proceedings of the ISCRAM 2015 Conference.
• Huppert, A., and G. Katriel. 2013. ‘Mathematical Modelling and Prediction in Infectious Disease Epidemiology’. Clinical Microbiology and Infection 19(11):999–1005.
• Kwok, Kin On, Arthur Tang, Vivian W. I. Wei, Woo Hyun Park, Eng Kiong Yeoh, and Steven Riley. 2019. ‘Epidemic Models of Contact Tracing: Systematic Review of Transmission Studies of Severe Acute Respiratory Syndrome and Middle East Respiratory Syndrome’. Computational and Structural Biotechnology Journal 17:186–94.
• Mikler, Armin R., Sangeeta Venkatachalam, and Kaja Abbas. 2005. ‘Modeling Infectious Diseases Using Global Stochastic Cellular Automata’. Journal of Biological Systems 13(04):421–39.

Источник данных: База данных научного цитирования Scopus. Мы искали по заголовкам, аннотациям и ключевым словам публикаций термин SIR model. В результате поиска было получено около 1700 публикаций. 
Поисковой запрос: 
TITLE-ABS-KEY ( {sir model}  OR  {sir models}  OR  {sir epidemic model}  OR  {sir epidemic models}  OR  {sir epidemiologic model}  OR  {sir epidemiologic models}  OR  {SIR (susceptible/infectious/recovered) models}  OR  {SIR (susceptible/infectious/recovered) model} )